一、从最简单的分数拆分开始
先看几个很普通的式子：
$$\frac{1}{1\times2}=1-\frac12$$
$$\frac{1}{2\times3}=\frac12-\frac13$$
$$\frac{1}{5\times6}=\frac15-\frac16$$
这些式子并不高级，本质就是通分。
比如：
$$\frac15-\frac16=\frac{6-5}{5\times6}=\frac1{5\times6}$$
于是可以得到一般规律：
$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$$
这就是数列求和里非常重要的思想：裂项相消。
二、为什么裂项相消这么有用？
如果要求：
$$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$$
把每一项都拆开：
$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$$
中间的部分会一正一负全部抵消，最后只剩：
$$1-\frac1{n+1}$$
这就是"相消"的力量。
原来看起来很长的一串数列，其实只要找到拆分方式，就能瞬间变短。
三、如果两个数不是相邻的怎么办？
比如：
$$\frac1{2\times5}$$
2 和 5 中间差了 3，不是相邻数。
我们可以这样拆：
$$\frac1{2\times5}=\frac13\left(\frac12-\frac15\right)$$
因为：
$$\frac12-\frac15=\frac{5-2}{2\times5}=\frac3{2\times5}$$
所以要再乘一个 $\frac13$。
一般地：
$$\frac1{n(n+k)}=\frac1k\left(\frac1n-\frac1{n+k}\right)$$
这里的关键不是死背公式，而是看懂：分母中两个数差多少，前面就要除以多少。
四、三个连续因子的裂项
再往上走一层，比如：
$$\frac1{n(n+1)(n+2)}$$
它也可以裂项：
$$\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left[\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right]$$
为什么前面是 $\frac12$？
因为：
$$\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}$$
所以要乘 $\frac12$，才能变成原来的式子。
这其实还是通分，只是形式更复杂了。
五、从"分数裂项"反过来看"乘积求和"
裂项不仅能处理分数，也可以反过来处理乘积求和。
比如要求：
$$1\times2+2\times3+3\times4+\cdots+n(n+1)$$
可以把每一项写成两个更大乘积的差：
$$k(k+1)=\frac13\left[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\right]$$
因为括号里两个式子相减后，中间公共的 $k(k+1)$ 会留下一个差值 3：
$$k(k+1)[(k+2)-(k-1)] = 3k(k+1)$$
所以前面要乘 $\frac13$。
于是：
$$1\times2+2\times3+\cdots+n(n+1)=\frac13 n(n+1)(n+2)$$
例如：
$$1\times2+2\times3+\cdots+99\times100=\frac13\times99\times100\times101$$
这比一项一项加快得多。
六、平方和公式也可以这样理解
常见的平方和公式是：
$$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
很多人只会背，但我们可以把它拆成更熟悉的东西。
注意：
$$k^2=k(k-1)+k$$
所以：
$$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$$
可以拆成：
$$[0\times1+1\times2+2\times3+\cdots+(n-1)n]+[1+2+3+\cdots+n]$$
第一部分是前面讲过的乘积求和：
$$0\times1+1\times2+\cdots+(n-1)n=\frac{(n-1)n(n+1)}3$$
第二部分是等差数列求和：
$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$
合起来：
$$\frac{(n-1)n(n+1)}3+\frac{n(n+1)}2$$
通分整理后得到：
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
这就是平方和公式的来源。
说些什么吧！