作者：ZIYOU（blog@example.com）

一、从最简单的分数拆分开始

先看几个很普通的式子：

$$\frac{1}{1\times2}=1-\frac12$$

$$\frac{1}{2\times3}=\frac12-\frac13$$

$$\frac{1}{5\times6}=\frac15-\frac16$$

这些式子并不高级，本质就是通分。

比如：

$$\frac15-\frac16=\frac{6-5}{5\times6}=\frac1{5\times6}$$

于是可以得到一般规律：

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$$

这就是数列求和里非常重要的思想：裂项相消。

本文2026-05-31首发于ZIYOU，最后修改于2026-05-31